【各种分布的方差与期望】在概率论和统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的重要指标。不同类型的概率分布具有不同的期望值和方差，掌握这些数值有助于我们更好地理解数据的集中趋势和离散程度。以下是对几种常见概率分布的期望与方差的总结。
一、离散型分布
| 分布名称 | 概率质量函数（PMF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} $ |
二、连续型分布
| 分布名称 | 概率密度函数（PDF） | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $，$ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 伽马分布 | $ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} $ | $ \frac{\alpha}{\beta} $ | $ \frac{\alpha}{\beta^2} $ |
三、小结
以上列出的是常见的离散型和连续型概率分布的期望与方差。它们在实际应用中非常广泛，如在金融建模、工程分析、自然科学研究等领域都有重要用途。了解这些分布的数学性质，有助于我们在数据分析中做出更准确的判断和预测。
通过掌握这些基础统计量，我们可以更深入地理解随机现象背后的规律，为后续的统计推断和模型构建打下坚实的基础。