sin105度等于多少根号
【sin105度等于多少根号】在三角函数中,角度的正弦值是常见的计算内容。对于一些特殊角度,如30°、45°、60°等,我们可以通过公式或单位圆直接得出其正弦值。但对于像105°这样的非标准角度,我们需要通过三角恒等式来求解。本文将总结sin105°的值,并以表格形式展示相关数据。
一、基本思路
105°可以表示为两个已知角度的和,即:
$$
105^\circ = 60^\circ + 45^\circ
$$
根据正弦的和角公式:
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
代入 $A = 60^\circ$,$B = 45^\circ$,可得:
$$
\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ
$$
接下来,代入已知数值:
- $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
- $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
计算如下:
$$
\sin(105^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
因此,sin105° 的精确表达式为:
$$
\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
二、总结与表格展示
角度 | 正弦值(精确表达) | 小数近似值(保留四位小数) |
105° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | 0.9659 |
三、说明
- 本题通过角度拆分和三角恒等式求解,避免了直接使用计算器或查表。
- 表格中的结果展示了sin105°的精确表达式及其数值近似,便于不同场景下的应用。
- 如果需要进一步计算其他角度的正弦值,也可以采用类似的方法进行推导。
通过以上分析,我们可以清晰地看到,sin105°的值可以用含有根号的形式准确表达出来,且在实际应用中具有较高的参考价值。
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