【反函数公式】在数学中，反函数是一个重要的概念，尤其在函数的逆运算和应用中有着广泛的应用。反函数的存在性依赖于原函数是否为一一映射（即每个输入对应唯一的输出，且每个输出也对应唯一的输入）。本文将总结反函数的基本定义、求法以及常见函数的反函数公式，并以表格形式进行展示。
一、反函数的基本概念
定义：
如果一个函数 $ f $ 的定义域为 $ A $，值域为 $ B $，并且对于每一个 $ y \in B $，存在唯一的 $ x \in A $，使得 $ f(x) = y $，那么函数 $ f $ 存在反函数，记作 $ f^{-1} $。反函数 $ f^{-1} $ 的定义域是 $ B $，值域是 $ A $，满足：
$$
f^{-1}(y) = x \quad \text{当且仅当} \quad f(x) = y
$$
换句话说，反函数就是将原函数的输入和输出互换位置后的函数。
二、求反函数的步骤
1. 设原函数为 $ y = f(x) $。
2. 将方程中的 $ x $ 和 $ y $ 交换位置，得到 $ x = f(y) $。
3. 解这个方程，求出 $ y $ 关于 $ x $ 的表达式，即为 $ y = f^{-1}(x) $。
4. 验证反函数的定义域和值域是否符合要求。
三、常见函数及其反函数公式
| 原函数 $ f(x) $ | 反函数 $ f^{-1}(x) $ | 定义域 | 值域 |
| $ f(x) = x + a $ | $ f^{-1}(x) = x - a $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ f(x) = ax + b $ | $ f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a} $ (a ≠ 0) | $ (-\infty, +\infty) $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ f(x) = x^2 $ (x ≥ 0) | $ f^{-1}(x) = \sqrt{x} $ | $ [0, +\infty) $ | $ [0, +\infty) $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f^{-1}(x) = \ln x $ | $ (0, +\infty) $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f^{-1}(x) = a^x $ | $ (0, +\infty) $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ f(x) = \sin x $ (x ∈ [-π/2, π/2]) | $ f^{-1}(x) = \arcsin x $ | $ [-1, 1] $ | $ [-\pi/2, \pi/2] $ |
| $ f(x) = \cos x $ (x ∈ [0, π]) | $ f^{-1}(x) = \arccos x $ | $ [-1, 1] $ | $ [0, \pi] $ |
| $ f(x) = \tan x $ (x ∈ (-π/2, π/2)) | $ f^{-1}(x) = \arctan x $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ (-\pi/2, \pi/2) $ |
四、注意事项
- 并不是所有的函数都有反函数，只有满足“一一对应”条件的函数才有反函数。
- 求反函数时，需要注意定义域和值域的限制，特别是三角函数等周期性函数。
- 反函数与原函数的图像关于直线 $ y = x $ 对称。
通过以上内容可以看出，反函数是函数变换中的一个重要工具，掌握其基本公式和性质有助于更深入地理解函数的结构和行为。